已知1<a<2，f(x)=log(x+根号下x^2-1)，(x>1)

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/09 13:19:20
已知1<a<2，f(x)底下有个a=log(x+根号下x^2-1)，(x>1).(1)求函数f(x)的反函数f^-1(x)和函数的定义域D(2)设x属于D，g(x)=(2^x+2^-x)/2，试比较f-(x)与g(x)的大小。

(1)为了求反函数的定义域，可先求原函数的值域。
因为x>1，所以可令x=1/sinθ，(0<θ<π)，代入原函数得
f(x)=log《a》[1/sinθ+√(1/sin²θ-1)]
=log《a》[(1+cosθ)/sinθ]
=log《a》{[1+2cos²(θ/2)-1]/[2sin(θ/2)cos(θ/2)]} (倍角公式)
=log《a》[1/tan(θ/2)]
因为0<θ<π，所以0<θ/2<π/2，所以0<tan(θ/2)<1，进而1/tan(θ/2)>1
又a>1，所以log《a》[1/tan(θ/2)]>0，即y>0
原函数的值域为y>0，所以反函数的定义域D为x>0。

下面来求反函数，将原函数的x与y互换整理得y=0.5(a^x+1/a^x)，所以
f^-1(x)=0.5(a^x+1/a^x) （x>0）

(2)f^-1(x)-g(x)=[0.5(a^x+1/a^x)]-[0.5(2^x+2^-x)]
=0.5[(a^x-2^x)+(1/2^x-1/a^x)]
=0.5[(a^x-2^x)+(a^x-2^x)/(2^x*a^x)]
=0.5[1+1/(2a)^x](a^x-2^x)
由1<a<2及x>0可知：a^x-2^x>0，所以0.5[1+1/(2a)^x](a^x-2^x)>0，即
f^-1(x)-g(x)>0，所以
f^-1(x)>g(x)